Re: 1+1=2

十九世紀末,數學家是這麼做的(例如Dedekind):

我們把1,2,3,...和加法當作已知，不去定義它，像"點"和"屬於"一樣,



定義符號 n^ = n 1 , 假如有一個無窮集合ω滿足這五條公設:

1. 1屬於ω

2. 若n屬於ω,則n^ 也屬於ω

3. 對每一個n屬於ω,n^ 不等於0

4. 若ω的一個子集X滿足公設1與2,則X就是ω

5. 若n,m屬於ω,且n^ =m^ ,則n=m

則我們稱ω為自然數,記為Ｎ.



所以我們把自然數這個集合定義完了,它是由我們已知的1,2,3,...和

已知的加法定義出來的.



這時的1 1=2是不用證的．



二十世紀的數學家對於這種定義無法滿足，主要是因為集合論的發展，

使得數學家想要把所有的東西都用集合與函數來表示，於是von Neumann

清楚定義自然數如下:

[定義] 0 = Φ

1 = {0} = {Φ}

2 = {0,1} = {Φ,{Φ}}

...



[定義] A^ = A∪{A}

得到 0 = Φ

1 = 0^

2 = 1^

...

加法可以定成滿足下列兩個性質的函數，唯一性是可以證明的:

[定義] A1. m 0=m A2. m (n)^ =(m n)^



於是我們可以證明1 1=2

proof: 1 1=1 (0)^ by 1的定義

=(1 0)^ by A2

=(1)^ by A1

=2 by 2的定義



但是如果你是數學家，你就可以看出這樣實在令人很不滿足，因為

我只定義個別的自然數，自然數所成的集合"有限地"卻無法寫出來

，當怎麼寫都寫不完時，這東西真的具體存在嗎？

所以只好接受一個假設：

　　存在一個這樣的無窮集合

這是集合論重要的一條公設，稱為無窮公設．



而像這樣定義之後，我們可以證明自然數是唯一的，這樣才算有定

義好，不像我叫做陳志偉，這個菜市場名表示我爸媽沒把我定義好．



二十世紀的定法可以證明十九世紀的五條公設，所以這五條就變成

定理，這件事告訴我們，數學的嚴謹性是因時而異，前人覺得嚴謹

，以後可能變得不嚴謹．



1898年,Whitehead和他的學生Russell在"數學原理"三巨冊中,給了

數學邏輯式的推導,建立了數學的基礎,版上有人一直傳言"1 1=2"

要證明100多頁,可能是因為這部書在第二冊才提到它.到目前為止

,這是最"嚴謹"的了.(第110條定理)



至於為什麼要把0定義成空集合,你只要把空集合的另一個符號"{}"

寫出來,便可以發現它正是代表沒有東西的狀態,相似的,1則是裡面

有一個東西的集合,{Φ}.這不是很自然嗎?





至於自然數有沒有包含0？

可有可無,端看定義．

若覺得零不自然，因為人類數數是從一開始數，那就把零排除．

若是從上述集合論的觀點來看，少了零才不自然．





只要定義清楚就沒問題了．

不過我覺得把零排除，以後使用起來比較方便．

據說，台灣好像普遍採用排除零的自然數系．





any question?